Hakikat dan Karakteristik Matematika

BAB I

PENDAHULUAN

A.  Latar Belakang

Apakah matematika itu? hingga saat ini belum ada kesepakatan yang bulat di antara para matematikawan tentang apa yang disebut matematika itu. Untuk mendiskripsikan definisi kata matematika para matematikawan belum pernah mencapai satu titik “puncak” kesepakatan yang “sempurna”. Banyaknya definisi dan beragamnya deskripsi yang berbeda dikemukakan oleh para ahli, mungkin disebabkan oleh ilmu matematika itu sendiri, dimana matematika termasuk salah satu disiplin ilmu yang memiliki kajian sangat luas sehingga masing-masing ahli bebas mengemukakan pendapatnya tentang matematika berdasarkan sudut pandang, kemampuan, pemahaman, dan pengalaman masing-masing. Oleh sebab itu matematika tidak akan pernah selesai untuk didiskusikan, dibahas, maupun diperdebatkan. Penjelasan mengenai apa dan bagaimana sebenarnya matematika itu, akan terus mengalami perkembangan seiring dengan pengetahuan dan kebutuhan manusia serta laju perubahan zaman.

Perkembangan Ilmu Pengetahuan dan Teknologi sangat pesat terutama dalam bidang informasi begitu cepat, sehingga informasi yang terjadi di dunia dapat kita ketahui dengan segera yang mengakibatkan batas Negara dan waktu sudah tidak ada perbedaan lagi. Akibat globalisasi, dalam era globalisasi ini diperlukan sumber daya manusia yang handal dan mampu berkompetisi secara global, sehingga diperlukan sumber daya manusia yang kreatif berfikir sistematis logis, dan konsisten, dapat bekerja sama serta tidak cepat putus asa. Untuk memperoleh sifat yang demikian perlu diberikan pendidikan yang berkualitas dengan berbagai macam pelajaran. Salah satu mata pelajaran yang merefleksikan sifat di atas adalah mata pelajaran Matematika, karena matematika merupakan ilmu dasar dan melayani hampir setiap ilmu. Sehingga ada ungkapan bahwa matematika itu adalah ratu dan pelayan ilmu. Matematika juga merupakan ilmu yang deduktif dan ilmu yang terstruktur. Berdasrkan hal-hal yang dikemukakan di atas, maka kami menyusun makalah tentang “HAKEKAT MATEMATIKA”.

B.  Rumusan Masalah

1.    Apa pengertian matematika?

2.    Apa yang dimaksud dengan hakekat matematika?

3.    Bagaimana perkembangan matematika dan apa saja contohnya?

4.    Apa saja tahapan dalam belajar matematika?

5.    Bagaimana fakta pembelajaran matematika?

6.    Apa saja karakteristik matematika?

C.  Tujuan

Adapun tujuan dari disusunnya makalah ini adalah:

1.    Untuk mengetahui pengertian dari matematika

2.    Untuk mengetahui pengertian hakekat matematika

3.    Untuk mengetahui perkembangan matematika beserta contohnya

4.    Untuk mengetahui tahapan-tahapan dalam matematika

5.    Untuk mengetahui fakta pembelajaran matematika

6.    Untuk mengetahui apa saja karakteristik matematika

BAB II

PEMBAHASAN

1.    Hakikat Matematika

Secara  etimologi, matematika berasal dari bahasa latin manthanein atau mathemata yang berarti belajar atau hal yang dipelajari. Dalam Bahasa Belanda disebut wiskunde atau ilmu pasti yang kesemuanya berkaitan dengan penalaran.[1]

Pendefinisian matematika sampai saat ini belum ada kesepakatan yang bulat, namun demikian dapat dikenal melalui karakteristiknya. Ada yang mengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang bilangan dan ruang, matematika merupakan bahasa simbol, matematika adalah bahasa numerik, matematika adalah ilmu yang abstrak dan deduktif, matematika adalah metode berpikir logis, matematika adalah ilmu yang mempelajari hubungan pola, bentuk dan struktur, matematika adalah ratunya ilmu dan juga menjadi pelayan ilmu yang lain. Matematika adalah salah satu pengetahuan tertua yang terbentuk dari penelitian bilangan dan ruang. Matematika adalah suatu disiplin ilmu yang berdiri sendiri dan tidak merupakan cabang dari ilmu pengetahuan alam.

Matematika merupakan ilmu yang tidak jauh dari realitas kehidupan manusia. Seperti halnya dalam membedakan antara banyak dan sedikit, lebih dengan kurang, orang perlu berhitung. Misalnya, seorang pengembala akan menghitung apakah kambing yang akan masuk ke kandang pada sore hari sudah lengkap atau belum, maka pengembala tersebut menggunakan tumpukan batu yang jumlahnya sama dengan jumlah kambing. Setiap satu kambing yang masuk ke kandang, maka tumpukan batu akan dipindah satu. Apabila ada tumpukan batu yang tersisa berarti ada kambing yang belum masuk ke kandang dan dengan demikian jumlah kambing yang masuk ke kandang kurang dari jumlah semua. Praktik seperti ini adalah permulaan dari orang belajar berhitung, yang merupakan salah satu dari cabang ilmu matematika. Akan tetapi, hakikat matematika bukanlah sekedar berhitung melainkan suatu bangunan pengetahuan yang terus berubah dan berkembang. Di samping itu, matematika adalah sebuah bahasa yang dapat menemukan dan mempelajari pola serta hubungan-hubungannya sehingga terbentuklah suatu kegiatan pembangkitan masalah dan pemecahan masalah. Itulah sebabnya matematika bermanfaat bagi semua orang.

a.    Perkembangan Matematika dan Contohnya

1)   Perkembangan Masa Yunani Kuno

Perkembangan matematika pada masa Yunani Kuno diprakarsai oleh para filsuf. Berbagai rumus matemtikan merupakan hasil dari serangkaian pemikiran filsafatis. Sekitar tahun 300 SM, Euklides menerbitkan sebuah buku Elemen Euklides. Di dalam buku tersebut terdapat penjabaran algoritma euklidean. Hingga kini algoritma eukliden merupakan algoritma numerik yang masih digunakan.

Ahli-ahli matematika selain Euklides antara lain, Phytagoras, Apollonius dari Perga, dan Archimedes. Phytagoras menciptakan sebuah teori tentang bilangan segitiga. Teori ini sering disebut sebagai Teorema Phytagoras. Teorema Phytagoras merupakan hasil pemikiran filsafat tentang bilangan-bilangan yang disusun menjadi bentuk segitiga.

2)   Perkembangan Zaman Islam

Sekitar abad 8 M, hidup seorang ahli matematika yang berasal dari Khiva (sekarang termasuk dalam Uzbekistan). Namanya adalah Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa Al Khawarismi. Selain sebagai matematikawan, ia juga seorang astronom dan juga ahli geografi. Kontribusi Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa Al Khawarismi bagi perkembangan matematika adalah rumusan aljabar. Aljabar merupakan generalisasi bentuk dari aritmatika.

3)   Perkembangan Zaman Modern

Memasuki zaman pemikiran modern, beberapa ahli memberikan kontribusi cukup berarti bagi perkembangan matematika. Rene Descartes memperkenalkan sistem koordinat Cartesius. Sistem koordinat Cartesius merupakan suatu terobosan untuk menotasi suatu titik, garis dan ruang. Sistem koordinat Cartesius semula memakai dua sumbu x dan y, untuk menotasi dua dimensi. Sumbu z kemudian diperkenalkan untuk menotasi letak titik, garis dan ruang tiga dimensi. Koordinat Cartesius saat ini digunakan secara luas dalam bidang desain dan perancangan struktur dan bangunan.

Isac Newton dan Albert Einstein, merupakan ahli fisika yang mempunyai kontribusi bagi perkembangan maematika. Isac Newton dikenal dengan teori tentang gaya (hukum Newton), disamping itu juga mengembangkan kalkulus integral dan kalkulus differensial. Sedangkan Einstein memperkenalkan teori realitivitas.[2]

b.    Tahapan Dalam Matematika

Matematika adalah ilmu pasti karena pada suatu pertanyaan hanya satu dan tidak ambigu. Kalaupun terjadi, pertanyaannya yang memiliki ambiguitas. Oleh karena itu, pelajaran matematika lebih ditekankan pada kecepatan, kecepatan dan logika matematika yang bertujuan untuk melatih kemampuan berpikir. Namun demikian, belajar matematika tidak dapat dipaksakan, harus bertahap. Karena setiap anak didik memiliki bakat lahir yang berbeda dan lingkungan yang mempengaruhi tumbuh kembang anak tersebut. Untuk itu dibutuhkan tahapan pembelajaran yang sesuai dengan pemikiran siswa dan akan memudahkan guru untuk mendorong siswa berpikir tingkat tinggi. Tahapan-tahapannya adalah sebagai berikut:

1)        Menggali informasi yang dibutuhkan

Masalah yang dirumuskan sedemikian rupa akan menuntut siswa untuk melakukan investigasi konteks, sebab tidak semua informasi diberikan secara eksplisit. Dalam melakukan investigasi, siswa pelu melakukan pengandaian yang masuk akal dan dapat mempertahankan nilai logis matematisnya maupun nilai realitas-kontekstualnya.

2)        Mengajukan dugaan

Pada tahap ini biasanya siswa mengajukan dugaan penyelesaian masalah dengan mencari struktur dan pola. Tahap ini sama juga dengan tahap mengajukan rencana penyelesaian. Biasanya siswa mulai mencari tahu rumus mana yang akan digunakan dalam masalah ini, memperhatikan apa yang akan ditanya, dan mendapatkan hasil dan metode yang digunakan, baik dengan hasil yang benar maupun yang salah.

3)        Melakukan inkuiri

Dalam melakukan inkuiri, biasanya siswa mengajukan pertanyaan dan mencari informasi yang cukup dengan mangkaji dan menganalisa informasi untuk menjawab pertanyaan yang muncul.

4)        Membuat konjektur

Suatu pernyataan matematika yang benar dihasilkan berdasarkan pengamatan dan eksplorasi, percobaan. Namun semua itu belum dibuktikan secara formal ketika suatu pernyataan ini dibuktikan secara matematika, maka konjektur tadi berubah namanya menjadi suatu teorema. Dalam hal ini berarti induktif telah berperan.

5)        Mencari alternatif

Mencari alternatif pemecahan soal tiap-tiap siswa tentu berbeda, tergantung keluasan konsep pelajaran yang dipahami siswa. Misalnya dalam melakukan penjumlahan berulang-ulang, ada siswa yang menjumlahkannya secara keseluruhan atau teknik penjumlahan dua-dua dan ada juga siswa yang mengunakan teknik perkalian dengan bilangan yang lebih kecil.

6)        Menarik kesimpulan

Kegiatan terakhir ini biasanya siswa melihat kembali persoalan yang harus diselesaikan dengan menarik kesimpulan dari proses yang telah diselesaikan sebelumnya. Dalam proses ini tampak bahwa bukan selesainya yang menjadi tujuan utama melainkan bagaimana siswa melakukan proses-proses seperti:

a)    Mengambil keputusan setelah melakukan investigasi matematika

b)   Membuat argument-argumen metematis dan kontekstual

c)    Mengkomunikasikan dan mempertahankan prosedur yang mereka lakukan.[3]

c.    Fakta Pembelajaran Matematika

Kondisi pembelajaran matematika di Indonesia masih belum maksimal. Akibat dari rendahnya penguasaan teknologi dan kemampuan sumber daya manusia Indonesia untuk berkompetisi secara global. Kebanyakan orang menganggap matematika adalah ilmu hitung-menghitung. Tetapi ahli matematika memandang perhitungan hanyalah alat dalam matematika yang melibatkan pemecahan soal matematika agar memahami pemahaman struktur dan pola dalam matematika.

Pada dasarnya pembelajaran adalah  aktifitas atau proses penambahan informasi dan kemampuan baru. Sekarang ini, terjadi perubahan paradigm pembelajaran dari yang berpusat kepada guru menjadi berpusat kepada siswa dengan tujuan agar siswa dituntut lebih aktif dan kreatif dalam belajar. Namun, pada kenyataannya sistem tersebut belum sesuai dengan yang diharapkan. Pembelajaran yang diterapkan cenderung text book oriented dan kurang terkait dengan kehidupan sehari-hari siswa.

Sementara itu, kebanyakan guru dalam mengajar masih kurang memperhatikan kemampuan berpikir siswa. Seperti metode belajar kurang bervariasi atau pola belajar cenderung menghafal dan mekanistis. Sehingga siswa sering mendengarkan ceramah tanpa mempedulikan siswa lain yang pemahamannya kurang atau sulit menangkap penjelasan dari guru. Ditambah lagi dengan siswa kurang diberi kesempatan dalam mengungkap ide-idenya dan alasan jawaban mereka. Akibatnya motivasi belajar siswa menjadi sulit untuk ditumbuhkan.

Faktor-faktor yang menyebabkan rendahnya minat siswa dalam pelajaran matematika, yaitu:

a)    Faktor budaya

Dalam masyarakat Indonesia cenderung kurang senang dengan budaya kerja keras sehingga budaya semacam ini mengajarkan kepada anak-anak proses pencapaian yang serba “instan” dan mengabaikan proses kerja keras.

b)   Faktor sistem pendidikan

Pada sistem ini siswa dianggap sebagai objek belajar yang harus menuruti aturan yang telah ditentukan guru atau sekolah. Masalah lain adalah kurikulum yang padat materi tetapi dengan alokasi waktu yang terbatas, tidak kontekstual, mempunyai tingkatan kesulitan yang tidak sesuai dengan ukuran perkembangan siswa dan sistematika yang tidak selalu tepat. Kondisi ini menyebabkan siswa merasa sulit mempelajari matematika sesuai tuntutan kurikulum.

c)    Faktor sistem penilaian

Sistem penilaian di sekolah cenderung hanya menilai hasil akhir pekerjaan siswa dan bukan menilai proses pekerjaan mereka. Akibatnya siswa yang sudah bekerja keraspun jika hasilnya salah, maka akan memperoleh nilai yang jelek dalam pelajaran matematika.

d)   Faktor orangtua dan keluarga

Banyak orangtua kurang memahami beratnya beban siswa dalam belajar di sekolah, sehingga banyak orangtua yang tidak sportif terhadap anak-anaknya. Jika ada orangtua yang memiliki waktu lebih untuk memperhatikan perkembangan belajar siswa, masalah muncul karena banyak orangtua yang tidak menguasai materi matematika dan cara mengajarnya sehingga kebingungan ketika anak mempunyai masalah terkait dengan materi pelajaran mereka.

e)    Faktor sifat bidang studi

Matematika memiliki karakteristik yang sangat khas, berbeda dengan disiplin ilmu yang lain. Sifat-sifat khas ini membuat kebanyakan siswa tidak mudah untuk secara langsung menaruh minat terhadap matematika.

f)    Faktor guru

Dibanding dengan guru-guru bidang studi lain, guru matematika cenderung mudah terkena godaan untuk ‘mudah marah’ terhadap siswa. Hal ini disebabkan pada satu sisi ada tuntutan untuk memenuhi kurikulum, target kelulusan lewat ujian nasional dan lain-lain. Sedangkan pada sisi lain banyak siswa cenderung lamban dalam mempelajari matematika atau lemah dalam penyelesaian soal-soal matematika. Atau metode yang digunakan guru dalam mengajar kurang sesuai dengan cara berpikir siswa.

Kondisi tersebut menunjukkan perlu adanya perubahan dan perbaikan dalam usaha meningkatkan hasil belajar siswa yaitu dengan meningkatkan kualitas pembelajaran untuk meningkatkan hasil belajar matematika.

2.    Karakteristik Matematika

Matematika memiliki karakteristik khas yang membedakannya dengan ilmu-ilmu lainnya. Matematika dapat dipandang sebagai pelayan dan ratu dari ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu dasar yang mendasari dan melayani berbagai ilmu pengetahuan yang lain. Seperti matematika muncul di ilmu kimia, fisika, biologi, astronomi, psikologi dan masih banyak yang lainnya. Sebagai ratu, perkembangan ilmu matematika tidak tergantung pada ilmu-ilmu lain. Khususnya pada ilmu matematika murni yang kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan tekhnologi.[4]

Karakteristik matematika tersebut antara lain:

a.    Matematika memiliki objek kajian yang abstrak

Di dalam matematika objek dasar yang dipelajari adalah abstrak, sering juga disebut sebagai objek mental. Di mana objek-objek tersebut merupakan objek pikiran yang meliputi fakta, konsep, operasi ataupun relasi, dan prinsip. Dari objek-objek dasar tersebut disusun suatu pola struktur matematika. Adapun objek-objek tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut:

a)    Fakta (abstrak) berupa konvensi-konvensi yang diungkap dengan simbol tertentu. Contoh simbol bilangan “3”  sudah di pahami sebagai bilangan “tiga”. Jika di sajikan angka “3” maka sudah dipahami bahwa yang dimaksud adalah “tiga”, dan sebalikya. Fakta lain dapat terdiri dari rangkaian simbol misalnya “3+4” sudah di pahami  bahwa yang dimaksud adalah “tiga di tambah empat”.

b)    Konsep (abstrak) adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklasifikasikan sekumpulan objek. Apakah objek tertentu merupakan suatu konsep atau bukan. ”segitiga” adalah nama suatu konsep abstrak, “Bilangan asli” adalah nama suatu konsep yang lebih komplek, konsep lain dalam matematika yang sifatnya lebih kompleks misalnya “matriks”, “vektor”, “group” dan ruang metrik”. Konsep berhubungan erat dengan definisi. Definisi adalah ungkapan yang membatasi suatu konsep. Dengan adanya definisi ini orang dapat membuat ilustrasi atau gambar atau lambang dari konsep yang didefinisikan. Sehingga menjadi semakin jelas apa yang dimaksud dengan konsep tertentu.

c)    Operasi (abstrak) adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar dan pengerjaan matematika yang lain. Sebagai contoh misalnya “penjumlahan”, “perkalian”, “gabungan”, “irisan”. Unsur-unsur yang dioperasikan juga abstrak. Pada dasarnya operasi dalam matematika adalah suatu fungsi yaitu relasi khusus, karena operasi adalah aturan untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui.

d)    Prinsip (abstrak) adalah objek matematika yang komplek. Prinsip dapat terdiri atas beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi ataupun operasi. Secara sederhana dapatlah dikatakan bahwa prinsip adalah hubungan antara berbagai     objek dasar matematika. Prinsip dapat berupa “aksioma”, “teorema”, “sifat” dan sebagainya.

b.    Matematika bertumpu pada kesepakatan

Kesepakatan dalam Matematika merupakan ikatan yang mengikat untuk menghindari pembuktian yang berputar-putar baik dalam pembuktian maupun dalam pendefinisian. Kesepakatan yang mendasar adalah aksioma dan konsep primitive. Aksioma yang disebut juga postulat merupakan pernyataan yang tidak perlu dibuktikan, sedangkan konsep primitive bertujuan memberikan pengertian pangkal yang tidak seharusnya didefinisikan. Fakta matematika meliputi istilah, symbol, notasi atau lambang, dengan adanya kesepakatan ini menjadikan pembahasan matematika mudah dikomunikasikan.

c.    Matematika berpola pikir deduktif

Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif. Ini berarti proses pengerjaan matematika harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan (induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian deduktif. Dasar pembuktian deduktif yang berperan besar dalam matematika adalah kebenaran, suatu pernyataan haruslah didasarkan pada kebenaran pernyataan-pernyataan sebelumnya. Penarikan kesimpulan yang demikian ini sangat berbeda dengan penarikan kesimpulan pada penalaran induktif yang dipaparkan pada hasil pengamatan atau eksperimen terbatas.

Dalam penalaran deduktif, kebenaran dalam setiap pernyataannya harus didasarkan pada kebenaran pernyataan sebelumnya. Mungkin timbul pertanyaan bagaimana menyatakan kebenaran dari pernyataan yang paling awal? Untuk mengatasi hal tersebut, dalam penalaran deduktif diperlukan beberapa pernyataan awal atau pangkal sebagai “kesepakatan” yang diterima kebenarannya tanpa pembuktian. Pernyataan awal atau pernyataan pangkal dalam matematika dikenal dengan istilah aksioma atau postulat.

Dalam matematika, suatu generalisasi, sifat, teori atau dalil belum dapat diterima kebenarannya sebelum dapat dibuktikan secara deduktif.

Sebagai contoh dalam Ilmu Pengetahuna Alam (IPA), bila seseorang melakukan percobaan memanaskan sebatang logam, ternyata logam yang dipanaskan tersebut akan memuai. Kemudian sebatang logam lainnya dipanaskan ternyata memuai juga, dan seterusnya mengambil beberapa contoh jenis-jenis logam lainnya dan ternyata selalu memuai jika dipanaskan. Dari percobaan ini dapat dibuat kesimpulan atau generalisasi bahwa setiap logam yang dipanaskan itu memuai. Kesimpulan atau generalisasi seperti ini merupakan hasil penalaran secara induktif. Generalisasi seperti ini dalam IPA dibenarkan.

Contoh dalam IPA seperti tersebut di atas, secara matematika belum dapat dianggap sebagai generalisasi. Dalam matematika, contoh-contoh seperti itu baru dapat dianggap sebagai generalisasi bila kebenarannya dapat dibuktikan secara deduktif.

Sekarang kita akan mengambil beberapa contoh generalisasi yang dibenarkan dan yang tidak dibenarkan dalam matematika. Generalisasi yang dibenarkan dalam matematika adalah generalisasi yang telah dapat dibuktikan secara deduktif.

Pernyataan: jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap

+	1	3	5
1	2	4	6
7	8	10	12
9	10	12	14

Perhatikan hasil penjumlahan pada tabel. Apa yang bisa Anda katakan? Tentunya Anda akan mengatakan bahwa setiap dua bilangan ganjil jika dijumlahkan hasilnya selalu genap.

Dalam matematika tidak dibenarkan membuat generalisasi atau membuktikan dengan cara demikian. Walaupun Anda menunjukkan sifat itu dengan mengambil beberapa contoh yang lebih banyak lagi. Matematika tetap tidak membenarkan membuat generalisasi yang mengatakan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah genap, sebelum membuktikannya secara deduktif.

Bukti deduktif:

 Misalkan m dan n sebarang dua bilangan bulat, maka 2m + 1 dan 2n + 1 masing-masing merupakan bilangan ganjil.   Jika kita jumlahkan:  (2m + 1) + (2n + 1) = 2(m + n + 1).  Karena m dan n bilangan bulat, maka (m + n + 1) bilangan bulat, sehingga  2(m + n + 1) adalah bilangan genap    Jadi jumlah dua bilangan ganjil selalu genap.

d.   Simbol dalam matematika kosong dari arti

Matematika memiliki banyak simbol, baik huruf maupun bilangan. Model matematika x + y = z, belum tentu bermakna atau berarti. Tidak selalu x, y, z berarti bilangan. Bilangan-bilangan yang digunakan dalam pembelajaran pun bebas dari arti atau makna real.  Makna huruf dan operasi tergantung permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model matematika. Bahkan tanda “+” tidak selalu berarti operasi tambah untuk dua bilangan, tetapi bisa jadi operasi untuk vector, matriks dan lain-lain.  Secara umum, x + y = z masih kosong dari arti, tergantung permasalahannya. Jadi, model atau symbol matematika sesungguhnya kosong dari arti. Ia akan bermakna sesuatu bila kita mengaitkannya dengan konteks tertentu. Secara umum, hal ini pula yang membedakan symbol matematika dengan symbol bukan matematika. Kosongnya arti dari model-model matematika itu merupakan “kekuatan” matematika, yang dengan sifat tersebut ia bisa masuk pada berbagai macam bidang kehidupan.

e.    Matematika memperhatikan semesta pembicaraan

Matematika memperhatikan semesta pembicaraan artinya penyelesaian dalam matematika harus disesuaikan dengan semesta pembicaraan. Simbol-simbol akan bermakna jika ruang lingkup pembicaraanya jelas. Jika ruang lingkupnya bilangan, maka dsimbol-simbol tersebut diartikan bilangan. Contoh : Penyelesaian persamaan  diselesaikan dengan memperhatikan semesta pembicaraan. Jika semesta pembicaraannya  tentang bilangan-bilangan, maka symbol-simbol tersebut menunjukkan bilangan-bilangan pula. Begitu juga bila kita bicara tentang transformasi geometris (seperti translasu, rotasi, dilatasi dan lain-lain), maka symbol-simbol matematikanya menunjukkan suatu transformasi pula.

f.     Matematika konsisten dalam sistemnya

Matematika kosisten dalam sistemnya artinya dalam matematika banyak sistem yang saling berkaitan satu sama lainnya dan ada juga yang tidak saling berkaitan. Didalam masing-masing sistem berlaku konsistensi atau ketaatazasan, artinya bahwa dalam system tidak boleh terdapat kontradiksi. Suatu teorema ataupun definisi harus menggunakan istilah atau konsep yang diterapkan terlebih dahulu. Konsistensi itu baik dalam makna maupun dalam hal nilai kebenaran. Misalnya, bila kita mendefinisikan konsep trapezium sebagai segiempat yang tepat sepasang sisinya sejajar, maka kita tidak boleh mengatakan bahwa jajaran genjang trapezium, karena jajaran genjang mempunyai dua pasang sisi sejajar.

BAB III

PENUTUP

A.  Kesimpulan

1.    Hakikat matematika bukanlah sekedar berhitung melainkan suatu bangunan pengetahuan yang terus berubah dan berkembang. Di samping itu, matematika adalah sebuah bahasa yang dapat menemukan dan mempelajari pola serta hubungan-hubungannya sehingga terbentuklah suatu kegiatan pembangkitan masalah dan pemecahan masalah. Itulah sebabnya matematika bermanfaat bagi semua orang.

2.    Ilmu matematika selalu terus berkembang. Perkembangan matematika tersebut dimulai dari perkembangan pada zaman Yunani Kuno, perkembangan zaman Islam dan perkembangan zaman modern.

3.    Ada enam tahapan yang harus dilalui siswa agar dapat berpikir tingkat tinggi, yaitu menggali informasi yang dibutuhkan, mengajukan dugaan, melakukan inkuiri, membuat konjektur, mencari alternative, dan menarik kesimpulan.

4.    Banyak siswa yang tidak menyukai pelajaran matematika. Faktor penyabab rendahnya minat siswa dalam pelajaran matematika adalah faktor budaya, faktor sistem pendidikan, faktor sistem penilaian, faktor orang tua dan keluarga, faktor sifat bidang study, faktor guru.

5.    Matematika memiliki karakteristik khas yang membedakan dengan ilmu-ilmu lainnya, di antaranya:

a.    Matematika memiliki objek kajian yang abstrak

b.    Matematika bertumpu pada kesepakatan

c.    Matematika berpola pikir deduktif

d.   Symbol dalam matematika kosong dari arti

e.    Matematika memperhatikan semesta pembicaraan

f.     Matematika konsisten dalam sistemnya.

B.  Saran

Sebagai seorang guru matematika yang professional hendaknya memahami bagaimana hakikat dan karekteristik matematika yang sebenarnya agar dapat meminimalisir berbagai persoalan yang terjadi, serta mengetahui cara pengajaran yang dibutuhkan oleh siswa-siswanya agar matematika tidak dianggap sulit dan disenangi oleh semua peserta didik. Ilmu matematika sangat diperlukan untuk memecahkan persoalan-persoalan dalam kehidupan sehari-hari. Untuk itu seorang guru harus memberikan asupan ilmu matematika yang sesuai dan bermanfaat seiring dengan kemajuan zaman sekarang ini kepada siswa sebagai penerus generasi bangsa.